Fronteira de Pareto — Definição

No nosso dia a dia sempre aparecem problemas que envolvem várias decisões importantes e possuem uma relação de desequilíbrio qualquer que seja a escolha realizada.

Por exemplo:

• dirigir em alta velocidade x economizar combustível
• fazer um investimento com alta expectativa de retorno x ter um investimento de baixo risco
• visitar o maior número de cidades x realizar a viagem no menor tempo possível

Embora não seja possível determinar uma decisão que beneficie ambos os objetivos, é possível determinar um conjunto de soluções que representam a melhor relação entre os objetivos.

Este conjunto de soluções é obtido através da otimização multiobjetivo.

Um problema de otimização multiobjetivo é definido por um conjunto de funções objetivo que devem ser otimizadas (maximizadas ou minimizadas) simultaneamente.

As soluções obtidas devem satisfazer as restrições do problema

Como o interesse é a busca das soluções ótimas, e

o problema pode ser restrito apenas ao processo de minimização.

De forma geral, um problema de otimização multiobjetivo com p objetivos pode ser formulado como:

sendo cada

uma função restrição.

A função f é definida pela função vetorial:

em que cada

é um objetivo.

O conjunto factível do problema é definido como

Na otimização multiobjetivo, geralmente os objetivos são conflitantes, isto é, para diminuir o valor de um objetivo necessariamente aumenta-se o valor de outro.

• Por isso, a solução ótima de uma função objetivo não coincide com as soluções ótimas das outras funções objetivo.
• Tendo em vista solucionar esse impasse é necessário definir o conceito de dominância que irá lançar luz sobre como definem-se as melhores soluções de um problema multiobjetivo.

Definição — Conceito de dominância

A dominância entre duas soluções é definida por (Ferreira, 2018):

• Uma solução Pareto ótima é uma solução tal que nenhuma outra solução de X a domine.
• O conjunto de todas as soluções Pareto ótimas constitui o conjunto Pareto ótimo, que pode ser definido como

• Em suma, como diz Takahashi (2007), o objetivo fundamental da otimização multiobjetivo consiste em determinar o conjunto Pareto ótimo, bem como a imagem desse conjunto pela função objetivo, que é a Fronteira de Pareto, definida como

Entendendo a Fronteira de Pareto de dois objetivos

• Considere o problema de minimizar 𝑓1 e 𝑓2.
• Abaixo encontra-se uma figura com alguns pontos espalhados no espaço de objetivos.
• O objetivo é identificar cada fronteira de dominância e dentre estas, indicar qual é a Fronteira de Pareto.

Uma maneira interessante de encontrar onde estão os pontos dominados ou dominantes de um determinado ponto é definindo quadrantes com origem neste ponto.

Por exemplo, para determinar a região dominada por E e a região que domina E, traçamos retas perpendiculares que se encontram em E.

• O primeiro quadrante representa a região dominada por E, isto é, todos os pontos que estão nesta região possuem valores de maiores (ou iguais em uma coordenada) que os valores de E.
• O segundo e o terceiro quadrantes constituem regiões com pontos indiferentes a E, isto é, não dominam nem são dominados por E.
• O quarto quadrante é constituído pelos pontos que dominam E, isto é, são aqueles pontos cujos objetivos são menores que os objetivos de E.

• Utilizando esta técnica conseguimos determinar todas as fronteiras de dominância.
• Os pontos que pertencem à mesma região de indiferença também pertencem à mesma fronteira de dominância.
• A fronteira que não possui pontos dominados é a Fronteira de Pareto.

Abaixo segue a identificação de cada fronteira dos pontos espalhados na Figura 1:

Terceira Fronteira de Dominância

Segunda Fronteira de Dominância

Primeira Fronteira de Dominância

Referências

Ferreira, F.D.G. Estudo Comparativo de Modelos e Técnicas Para Otimização de Portfólios Com Restrição de Cardinalidade. Dissertação (Mestrado) — Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2018.

Takahashi, R. Otimização escalar e vetorial, volume 3: Otimização vetorial. Notas de aula. Departamento de Matemática. Universidade Federal de Minas Gerais, p. 262–301, 2007.

Espero ter ajudado de alguma forma…

Obrigada por ler este conteúdo…